कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

चरण 1

$t$ के संबंध में दोनों पक्षों का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न $t$ के संबंध में दूसरे व्युत्पन्न के समाकलन के बराबर है.

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

चरण 1.2

मान लीजिए $u_{1} = 2 t$ .फिर $d u_{1} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

मान लें $u_{1} = 2 t$ . $\frac{d u_{1}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 1.2.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 1.3

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

चरण 1.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

चरण 1.5

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

चरण 1.6

सरल करें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

चरण 1.7

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

चरण 2

समीकरण को फिर से लिखें.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

चरण 3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.3

मान लीजिए $u_{2} = 2 t$ .फिर $d u_{2} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

मान लें $u_{2} = 2 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 3.3.3.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 3.3.3.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 3.3.3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 3.3.3.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.4

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.7

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

चरण 3.3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

चरण 3.3.9

सरल करें.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

चरण 3.3.10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$