कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

चरण 1

मान लें $V = \frac{x}{y}$ . $\frac{x}{y}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d x}{d y} = - V$

चरण 2

$x$ के लिए $V = \frac{x}{y}$ हल करें.

$x = V y$

चरण 3

$y$ के संबंध में $x = V y$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

चरण 4

$y \frac{d V}{d y} + V$ को $\frac{d x}{d y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

चरण 5

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{d V}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$\frac{d V}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

चरण 5.1.1.1.2

$- V$ में से $V$ घटाएं.

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

चरण 5.1.1.2

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ के प्रत्येक पद को $y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ के प्रत्येक पद को $y$ से विभाजित करें.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

चरण 5.1.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

चरण 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

चरण 5.1.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

चरण 5.1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{V}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

चरण 5.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

चरण 5.1.3.2

$V$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.2.1

$- \frac{1}{V}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

चरण 5.1.3.2.2

$2 V$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

चरण 5.1.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

चरण 5.1.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

चरण 5.1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

चरण 5.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

चरण 5.2.2

$V$ के संबंध में $\frac{1}{V}$ का इंटीग्रल $\ln (| V |)$ है.

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

चरण 5.2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

चरण 5.2.3.2

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

चरण 5.2.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

चरण 5.2.3.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

चरण 5.2.3.5

सरल करें.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

चरण 5.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

चरण 5.3

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

चरण 5.3.2.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

चरण 5.3.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| V | y^{2}) = C$

चरण 5.3.2.1.3

गुणनखंडों को $\ln (| V | y^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (y^{2} | V |) = C$

चरण 5.3.3

$V$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

चरण 5.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y^{2} | V |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y^{2} | V |$

चरण 5.3.5

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

समीकरण को $y^{2} | V | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} | V | = e^{C}$

चरण 5.3.5.2

$y^{2} | V | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $y^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.1

$y^{2} | V | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $y^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

चरण 5.3.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.2.1

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

चरण 5.3.5.2.2.1.2

$| V |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

चरण 5.3.5.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

चरण 5.4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

चरण 5.4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

चरण 6

$\frac{x}{y}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

चरण 7

$x$ के लिए $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 7.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

चरण 7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$C (\frac{1}{y^{2}}) y$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$C$ और $\frac{1}{y^{2}}$ को मिलाएं.

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

चरण 7.2.2.1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

चरण 7.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

चरण 7.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{C}{y}$