कैलकुलस उदाहरण

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 1

समस्या को गणितीय व्यंजक के रूप में लिखें.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

चरण 2.2

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

चरण 2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x^{2} + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 3.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{3}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

चरण 3.4.2

$12 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $12 x$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x = 12 x$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 x = 12 x$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$12 x$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$2 x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

चरण 5.3

$2 x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2 x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

चरण 5.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$12 x - 1 \cdot 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$12 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

चरण 5.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

चरण 5.3.2.1.3

$x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

चरण 5.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

चरण 5.3.2.3

$12$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

चरण 5.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

चरण 5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{10}{2 y}$

चरण 5.3.4

$2 x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

चरण 5.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

चरण 5.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

चरण 5.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5}{y}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $5$ बटे $y$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 6.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 6.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

चरण 6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

चरण 6.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

चरण 7

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x y$ को $y^{5}$ से गुणा करें.

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 7.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$y^{5}$ ले जाएं.

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 7.2.2

$y^{5}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 7.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 7.2.3

$5$ और $1$ जोड़ें.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

चरण 7.3

$6 x^{2} + y^{3}$ को $y^{5}$ से गुणा करें.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

चरण 7.5

घातांक जोड़कर $y^{3}$ को $y^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

चरण 7.5.2

$3$ और $5$ जोड़ें.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x y^{6}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चूँकि $2 y^{6}$ बटे $x$ अचर है, $2 y^{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

चरण 9.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 9.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2.2

$y^{6}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2.3

$2$ को $y^{6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2.4

$2$ को $y^{6}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

चरण 9.3.2.5.2

$y^{6}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{6} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{6} x^{2}$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ है.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.3.3

$6$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

चरण 13

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 y^{5} x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

चरण 13.1.2

$6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.2.1

गुणनखंडों को $6 x^{2} y^{5}$ और $- 6 y^{5} x^{2}$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

चरण 13.1.2.2

$6 y^{5} x^{2}$ में से $6 y^{5} x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

चरण 13.1.2.3

$y^{8}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

चरण 14

$g (y)$ को खोजने के लिए $y^{8}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y^{8} d y$

चरण 14.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{8}$ का समाकलन $\frac{1}{9} y^{9}$ है.

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

चरण 15

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

चरण 16

$\frac{1}{9}$ और $y^{9}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$