कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d r}{d t} = - 8 r t$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{r}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{r} (- 8 r t)$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = - 8 \frac{1}{r} (r t)$

चरण 1.2.2

$- 8$ और $\frac{1}{r}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 8}{r} (r t)$

चरण 1.2.3

$r$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$r t$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 8}{r} (r (t))$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = \frac{- 8}{r} (r t)$

चरण 1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d t} = - 8 t$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} d r = - 8 t d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - 8 t d t$

चरण 2.2

$r$ के संबंध में $\frac{1}{r}$ का इंटीग्रल $\ln (| r |)$ है.

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - 8 t d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 8$ बटे $t$ अचर है, $- 8$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| r |) + C_{1} = - 8 \int t d t$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\ln (| r |) + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$- 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ को $- 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| r |) + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$- 8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{- 8}{2} t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| r |) + C_{1} = \frac{- 4}{1} t^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| r |) + C_{1} = - 4 t^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| r |) = - 4 t^{2} + C$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$r$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| r |)} = e^{- 4 t^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| r |) = - 4 t^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 4 t^{2} + C} = | r |$

चरण 3.3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| r | = e^{- 4 t^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| r | = e^{- 4 t^{2} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$r = \pm e^{- 4 t^{2} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- 4 t^{2} + C}$ को $e^{- 4 t^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm e^{- 4 t^{2}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- 4 t^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$r = \pm e^{C} e^{- 4 t^{2}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$r = C e^{- 4 t^{2}}$