कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y \sqrt{1 + y^{2}}$ से गुणा करें.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

चरण 1.2

$y \sqrt{1 + y^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 1 + y^{2}$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 1 + y^{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 y$

चरण 2.2.1.1.5

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.6.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

चरण 2.3.2

$t$ के संबंध में $e^{t}$ का इंटीग्रल $e^{t}$ है.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

चरण 2.3.3

सरल करें.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

चरण 2.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$