कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

चरण 1.1.2

पहले भिन्न के न्यूमेरेटर को दूसरे भिन्न के भाजक से गुणा करें. इसे पहले भिन्न के भाजक और दूसरे भिन्न के न्यूमेरेटर के गुणनफल के बराबर सेट करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

चरण 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

चरण 1.1.3.1.2

$y^{2} - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

चरण 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2} \cdot 2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ के प्रत्येक पद को $x^{2} \cdot 2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1.1

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1.1.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1.1.2.1

$x^{2} \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.2

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.3

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1.3.2.1

$x^{2} \cdot 2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

चरण 1.1.3.2.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

चरण 1.1.3.2.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

चरण 1.1.3.2.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{y}{2 x^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

चरण 1.2.2

$- \frac{1}{x^{2} y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 1.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $2 y x^{2}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\frac{y}{2 x^{2}}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2} y}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

चरण 1.2.3.3

$x^{2} y \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

चरण 1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

चरण 1.2.5

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

चरण 1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.4

दोनों पक्षों को $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ को $\frac{1}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

चरण 1.5.2

$2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$2 y x^{2}$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

चरण 1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

चरण 1.5.3

$y^{2} - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

चरण 1.5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u = y^{2} - 2$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u = y^{2} - 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$y^{2} - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

चरण 2.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 2.2.2.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y + 0$

चरण 2.2.2.1.5

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2} - 2$ से बदलें.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 2.3.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 2.3.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

चरण 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ को $- \frac{1}{x} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

चरण 3.3.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- \frac{1}{x} + C}$ को $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

चरण 4.2

$e^{- \frac{1}{x}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$