कैलकुलस उदाहरण

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

चरण 1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.3.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$y$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

चरण 1.4.2

चूंकि $\frac{1}{x^{2}}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

चरण 1.4.4

$\frac{1}{x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.5

$0$ और $\frac{1}{x^{2}}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y - x^{- 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y - x^{- 1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{- 1}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

चरण 2.3.4

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ और $x^{- 2}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

चरण 2.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $\frac{1}{x^{2}}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{x^{2}}$ प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y - x^{- 1}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{- 1} y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ है.

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.3.2

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.3.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.2.1

$y$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.5.2.2

$0$ और $\frac{y}{x^{2}}$ जोड़ें.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 8.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

चरण 9.1.1.2

$y$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{y}{x^{2}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

चरण 9.1.2.2

$2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$\frac{y}{x^{2}}$ में से $\frac{y}{x^{2}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

चरण 9.1.2.2.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $2$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 d x$

चरण 10.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = 2 x + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

चरण 12.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

चरण 12.3

$y$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$