कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x y + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

चरण 1.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

चरण 1.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

चरण 1.1.4

$x (y) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

चरण 1.2

$x^{2} y + y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

चरण 1.2.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

चरण 1.2.3

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

चरण 1.2.4

$y x^{2} + y \cdot 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

चरण 1.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

चरण 1.4

दोनों पक्षों को $\frac{y}{y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ को $\frac{y + 1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

चरण 1.5.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$(x^{2} + 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

चरण 1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

चरण 1.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.3

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$x (y + 1)$ में से $y + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

चरण 1.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$y$ को $y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y$

$0$

चरण 2.2.1.2

भाज्य $y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

चरण 2.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

चरण 2.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

चरण 2.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

चरण 2.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.5

मान लीजिए $u_{1} = y + 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

मान लें $u_{1} = y + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.5.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2.8

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = x^{2} + 1$ .फिर $d u_{2} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = x^{2} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.4

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

चरण 2.3.6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$