कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

चरण 1

$\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भिन्न $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

चरण 1.2

मान लें $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

चरण 1.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ और $\sqrt{x^{2}}$ को एक रेडिकल में मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.4

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ को विभाजित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

भिन्न $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.4.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.5

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ को ${(\frac{y}{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

चरण 2

मान लें $V = \frac{y}{x}$ . $\frac{y}{x}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

चरण 3

$y$ के लिए $V = \frac{y}{x}$ हल करें.

$y = V x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y = V x$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

चरण 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ को $\frac{d y}{d x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

चरण 6.1.1.1.2

$V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.2.1

$V$ में से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

चरण 6.1.1.1.2.2

$0$ और $\sqrt{1 + V^{2}}$ जोड़ें.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

चरण 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

चरण 6.1.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

चरण 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

चरण 6.1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

चरण 6.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

जोड़ना.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

चरण 6.1.3.2

$\sqrt{1 + V^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

चरण 6.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 6.1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

मान लीजिए $V = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d V = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2.2

$\sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.2.1

$\sec^{2} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (V)$ से बदलें.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

चरण 7

$\frac{y}{x}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

चरण 8

$y$ के लिए $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

चरण 8.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (\frac{y}{x})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \frac{y}{x})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ है.

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.2

उत्पाद नियम को $\frac{y}{x}$ पर लागू करें.

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.5

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ को ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

$x^{2} + y^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.5.2

$x^{2}$ में से पूर्ण घात $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.5.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.7

$\frac{1}{x}$ और $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.8

स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के फलन व्युत्क्रम होते हैं.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

चरण 8.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$