कैलकुलस उदाहरण

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d t}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{t}{5}$ और $\frac{d y}{d t}$ को मिलाएं.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करें.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

चरण 1.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

चरण 1.1.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

चरण 1.1.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

$5 (y - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

चरण 1.1.3.2.1.2

$5$ को $- 3$ से गुणा करें.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

चरण 1.1.4

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ के प्रत्येक पद को $t$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ के प्रत्येक पद को $t$ से विभाजित करें.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

चरण 1.1.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

चरण 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d t}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

चरण 1.1.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

चरण 1.2.2

$5 y - 15$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$5 y$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

चरण 1.2.2.2

$- 15$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

चरण 1.2.2.3

$5 y + 5 \cdot - 3$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y - 3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

चरण 1.4

$y - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$5 (y - 3)$ में से $y - 3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y - 3$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y - 3$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y - 3$ से बदलें.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $5$ बटे $t$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

चरण 2.3.2

$t$ के संबंध में $\frac{1}{t}$ का इंटीग्रल $\ln (| t |)$ है.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

चरण 2.3.3

सरल करें.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 5 \ln (| t |)$ को सरल करें.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

चरण 3.2.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को ${| t |}^{5}$ से गुणा करें.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

${| t |}^{5}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} {| t |}^{5}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

चरण 3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

चरण 3.5.4.3

गुणनखंडों को $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ में पुन: क्रमित करें.

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

चरण 3.5.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C {| t |}^{5} + 3$