कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = x^{5} - 5$ .फिर $d u = 5 x^{4} d x$ , तो $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = x^{5} - 5$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x^{5} - 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5} - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 x^{4} + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$5 x^{4}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{4}$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

चरण 2.3.2

$u^{2}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ को $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

चरण 2.3.5.2.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{5} - 5$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ में $y$ के लिए $5$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

चरण 4.2.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

चरण 4.2.3

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

चरण 4.2.4

$\frac{1}{15}$ और $- 64$ को मिलाएं.

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

चरण 4.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{64}{15}$ जोड़ें.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

चरण 4.3.2

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{15}{15}$ से गुणा करें.

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

चरण 4.3.3

$5$ और $\frac{15}{15}$ को मिलाएं.

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$5$ को $15$ से गुणा करें.

$K = \frac{75 + 64}{15}$

चरण 4.3.5.2

$75$ और $64$ जोड़ें.

$K = \frac{139}{15}$

चरण 5

$\frac{139}{15}$ को $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{139}{15}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

घातांक को ${(x^{5})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.1.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.2

घातांक को ${(x^{5})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.2.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.3

$- 5$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.4

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.5

$25$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.2.6

$- 5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\frac{1}{15}$ और $x^{15}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.2

$15$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

$- 15 x^{10}$ में से $15$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.3

$15$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.3.1

$75 x^{5}$ में से $15$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.4

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.4.1

$15$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.4.2

$- 125$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.4.5

$\frac{1}{3}$ और $- 25$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

चरण 5.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

चरण 5.3

$- \frac{25}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

चरण 5.4

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\frac{25}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

चरण 5.4.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

चरण 5.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 25$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

चरण 5.6.2

$- 125$ और $139$ जोड़ें.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$