कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{e^{- y}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

चरण 1.2

$e^{- y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$e^{- y}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घातांक को ${(e^{- y})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2.1.2.1.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2.1.2.2

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.2.2

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

चरण 3.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{y})$ का प्रसार करें.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

चरण 3.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

चरण 3.2.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

चरण 4

$x$ के लिए $5$ और $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

चरण 5

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

चरण 5.2

$K$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

चरण 5.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

चरण 5.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

समीकरण को $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ के रूप में फिर से लिखें.

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

चरण 5.4.2

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

चरण 5.4.2.1.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$25 - 20 + K = e^{0}$

चरण 5.4.2.2

$25$ में से $20$ घटाएं.

$5 + K = e^{0}$

चरण 5.4.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$5 + K = 1$

चरण 5.4.4

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$K = 1 - 5$

चरण 5.4.4.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$K = - 4$

चरण 6

$- 4$ को $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 4$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$