कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 7 d x}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{7 x + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{7 x}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{7 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{7 x}$ से गुणा करें.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

चरण 2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $11$ बटे $x$ अचर है, $11$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

चरण 6.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{7 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\frac{1}{7}$ और $e^{7 x}$ को मिलाएं.

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

चरण 6.3.2

$x$ और $\frac{e^{7 x}}{7}$ को मिलाएं.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

चरण 6.3.3

$\frac{1}{7}$ और $e^{7 x}$ को मिलाएं.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

चरण 6.4

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

चरण 6.5

मान लीजिए $u = 7 x$ .फिर $d u = 7 d x$ , तो $\frac{1}{7} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

मान लें $u = 7 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$7 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

चरण 6.5.1.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 \cdot 1$

चरण 6.5.1.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7$

चरण 6.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

चरण 6.6

$e^{u}$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

चरण 6.7

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

चरण 6.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$\frac{1}{7}$ को $\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

चरण 6.8.2

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

चरण 6.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

चरण 6.10

$11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ को $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

चरण 6.11

$u$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

चरण 7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$e^{7 x}$ और $\frac{1}{49}$ को मिलाएं.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

चरण 7.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

चरण 7.2

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{7 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{7 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$e^{7 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.1

$\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ में से $e^{7 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.1.1

$\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ में से $e^{7 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.1.2

$- \frac{e^{7 x}}{49}$ में से $e^{7 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.1.3

$e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ में से $e^{7 x}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.2

$\frac{1}{7}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.3

$\frac{x}{7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.4

प्रत्येक व्यंजक को $49$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.4.1

$\frac{x}{7}$ को $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.4.2

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.6

$7$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1.7.1

$\frac{7 x - 1}{49}$ और $11$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.7.2

$\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ और $e^{7 x}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.1.8

$11$ को $7 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.3

जोड़ना.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.4

$e^{7 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.1.5

$11$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.2

$\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.3

$\frac{C}{e^{7 x}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{49}{49}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

चरण 7.2.3.4

प्रत्येक व्यंजक को $49 e^{7 x}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.4.1

$\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ को $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

चरण 7.2.3.4.2

$\frac{C}{e^{7 x}}$ को $\frac{49}{49}$ से गुणा करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

चरण 7.2.3.4.3

$e^{7 x} \cdot 49$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.6.2

$7$ को $11$ से गुणा करें.

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.6.3

$11$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

चरण 7.2.3.6.5

$49$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$