कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 4 x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

चरण 1.2

$4 x^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

चरण 1.2.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

चरण 1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ को $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

चरण 1.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

चरण 1.2.3.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 x^{4} + C}$

चरण 1.2.3.2.3

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x^{4} + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x^{4}}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x^{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{x^{4}}$ से गुणा करें.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

चरण 2.3

गुणनखंडों को $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6.2.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{1}$ को मिलाएं.

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 6.2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ और $e^{{u_{1}}^{2}}$ को मिलाएं.

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 6.4

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

${u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 6.4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1}$

चरण 6.4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 6.5

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 6.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 6.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 6.8

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

चरण 6.9

सरल करें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

चरण 6.10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${u_{1}}^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

चरण 6.10.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

चरण 7

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{4}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{4}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{x^{4}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{{(x^{2})}^{2}}$ और $e^{x^{4}}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ में से $e^{x^{4}}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.3

$x^{4}$ में से $x^{4}$ घटाएं.

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

चरण 7.3.1.5

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$