कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x y^{2} d x$ जोड़ें.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x + 1) y^{2}$ में से $x + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को $y + 1$ से गुणा करें.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.3

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$(x + 1) y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

चरण 3.3.2

$x y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

चरण 3.4

$\frac{1}{x + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$y^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.1.2

घातांक को ${(y^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.2

$(y + 1) y^{- 2}$ गुणा करें.

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$y$ को $y^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.3.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.3.1.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.3.2

$y^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.5

$y$ के संबंध में $y^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.6

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.7

सरल करें.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.2.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 4.3.1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 4.3.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

चरण 4.3.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

चरण 4.3.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

चरण 4.3.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4.3.5

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 4.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.3.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

चरण 4.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$