कैलकुलस उदाहरण

$(2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3) d x + (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x^{3}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y^{2}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 1.5

चूंकि $y$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + 0$

चरण 1.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$0$ और $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 + 0$

चरण 1.6.2

$2 x y + 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3.3

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \cdot 1$

चरण 2.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x y + 2$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x y + 2$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{2} y + 2 x d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int 2 x d y$

चरण 5.2

चूँकि $x^{2}$ बटे $y$ अचर है, $x^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int 2 x d y$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + C$

चरण 5.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.4

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.5

$2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.6

$\frac{2 y^{2}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.3.7.2

$y^{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.4

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y^{2} x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.4.2

$y^{2} x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} x + 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{2} x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

चरण 9.1.3

$2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

गुणनखंडों को $x y^{2}$ और $- y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + y^{2} x + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

चरण 9.1.3.2

$y^{2} x$ में से $y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 + 0 - 2 y$

चरण 9.1.3.3

$2 x^{3} + 2 y + 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 - 2 y$

चरण 9.1.3.4

$2 y$ में से $2 y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

चरण 9.1.3.5

$2 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $2 x^{3} + 3$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

चरण 10.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

चरण 10.4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

चरण 10.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

चरण 10.7

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

चरण 10.8

सरल करें.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

चरण 10.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

चरण 12.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$