कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x y^{2}$

चरण 1

बर्नौली तकनीक में फिट होने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$- \frac{y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x y^{2}$

चरण 1.2

$y$ और $- \frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$

चरण 2

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $y^{2}$ का घातांक है.

$v = y^{- 1}$

चरण 3

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 5

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 5.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 5.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 5.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 6

मूल समीकरण $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d y}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $y$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 7

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ में से $v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.4

घातांक जोड़कर $v^{- 1}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1.4.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.4.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.5

$- \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.6

$v$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.7

$- \frac{v}{x} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.2.1.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.2.1.7.2

$\frac{v}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 7.1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

चरण 7.1.1.3.2

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

चरण 7.1.1.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

चरण 7.1.1.3.3

घातांक जोड़कर $v^{- 2}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1.3.3.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

चरण 7.1.1.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

चरण 7.1.1.3.3.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{0}$

चरण 7.1.1.3.4

$- x v^{0}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x$

चरण 7.1.2

$\frac{v}{x}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - x$

चरण 7.1.3

$v$ और $\frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - x$

चरण 7.2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 7.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 7.2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\ln (x)}$

चरण 7.2.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x$

चरण 7.3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को $x$ से गुणा करें.

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- x)$

चरण 7.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ और $v$ को मिलाएं.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

चरण 7.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

चरण 7.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- x)$

चरण 7.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x \cdot x$

चरण 7.3.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.4.1

$x$ ले जाएं.

$x \frac{d v}{d x} + v = - (x \cdot x)$

चरण 7.3.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x^{2}$

चरण 7.4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x v] = - x^{2}$

चरण 7.5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - x^{2} d x$

चरण 7.6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x v = \int - x^{2} d x$

चरण 7.7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x v = - \int x^{2} d x$

चरण 7.7.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$x v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 7.7.3

$- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ को $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 7.8

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.3.1.1

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.3.1.1.1

$- \frac{1}{3} x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.1.2.5

$- \frac{1}{3} x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

चरण 7.8.3.1.2

$x^{2}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$v = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$

चरण 8

$y^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$y^{- 1} = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$