कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) (1 - 2 x)$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

चरण 1.2

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} d y = (1 - 2 x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y - 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y - 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 - 2 x d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y - 1$ से बदलें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

चरण 2.3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.5.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- x^{2} + x + C} = | y - 1 |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y - 1 = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C} + 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- x^{2} + x + C}$ को $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C} + 1$

चरण 4.2

$e^{- x^{2} + x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x} + 1$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- x^{2} + x} + 1$