कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

चरण 1.2

$\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

चरण 1.2.2

$x^{3}$ को ${(x^{3})}^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

चरण 1.2.3

मान लीजिए $u_{1} = x^{3}$ .फिर $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

मान लें $u_{1} = x^{3}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 1.2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2}$

चरण 1.2.3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

चरण 1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

सरल करें.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

चरण 1.2.4.2

$\frac{1}{1 + u_{1}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

चरण 1.2.4.3

$3$ को $1 + u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

चरण 1.2.5

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

चरण 1.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

चरण 1.2.6.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

चरण 1.2.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

चरण 1.2.6.3

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

चरण 1.2.7

मान लीजिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

मान लें $u_{2} = 1 + u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

$1 + u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

चरण 1.2.7.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 + u_{1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 1.2.7.1.3

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 1.2.7.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 1.2.7.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2.7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

चरण 1.2.8

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

चरण 1.2.9

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + u_{1}$ से बदलें.

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

चरण 1.2.9.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

चरण 1.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$1 + x^{3}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $1 + x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $1 + x^{3}$ से गुणा करें.

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.3.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.4

$\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.5

$1 + x^{3}$ को $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.6.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.6.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.7

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.8

$1 - x + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.2.8.2

$3 x^{2} y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

चरण 2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

चरण 2.3.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

चरण 2.3.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.4

$1 + x^{3}$ को $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.5.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.5.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.6

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

चरण 2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

चरण 2.7

$1 - x + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

चरण 2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

चरण 7

$(1 + x^{3}) y = x + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{3}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$(1 + x^{3}) y = x + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{3}$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$1 + x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.3.1.1.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.3.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.3.1.1.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

चरण 7.3.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

चरण 7.3.1.2.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

चरण 7.3.1.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

चरण 7.3.1.2.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$