कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{2 y + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

चरण 1.2

$2 y + 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x + 5}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 2 y + 3$ .फिर $d u_{1} = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = 2 y + 3$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$2 y + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 2.2.1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

चरण 2.2.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.2.1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = 4 x + 5$ .फिर $d u_{2} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = 4 x + 5$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$4 x + 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 2.3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 2.3.1.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

चरण 2.3.2.2

$4$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.4

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x + 5$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 2 y + 3 |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ और $\ln (| 4 x + 5 |)$ को मिलाएं.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C)$

चरण 3.2.2.1.2

$C$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

चरण 3.2.2.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$C$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

चरण 3.2.2.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{4}$

चरण 3.2.2.1.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

चरण 3.2.2.1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

चरण 3.2.2.1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2}$

चरण 3.2.2.1.4

$4$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} = | 2 y + 3 |$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

चरण 3.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$2 y + 3 = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

चरण 3.5.3

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} - 3$

चरण 3.5.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

भिन्न $\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2} + \frac{4 C}{2}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.2.1

$\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y = \pm e^{\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |) + \frac{4 C}{2}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ को सरल करें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 C}{2}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.3

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.2.3.1

$4 C$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 (1)}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 \cdot 1}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 C}{1}} - 3$

चरण 3.5.3.2.2.3.2.4

$2 C$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$

चरण 3.5.4

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

चरण 3.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

चरण 3.5.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

चरण 3.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

चरण 3.5.4.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3}{2}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - 3}{2}$

चरण 4.2

$e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ को $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C} - 3}{2}$

चरण 4.3

$e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$