कैलकुलस उदाहरण

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $8$ बटे $y$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ को $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$8$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $12$ बटे $x$ अचर है, $12$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 3 x + 2$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 3 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$3 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 2.3.2.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

चरण 2.3.3.2

$3$ को $u^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ और $12$ को मिलाएं.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.1.2

$12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 2.3.5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.5.2.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.5.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$4 (- u^{- 1} + C_{2})$ को $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$- 4$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

चरण 3.1.3.2

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ से गुणा करें.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.4.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.4.3

$2$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.5.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5.2

$3 K x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5.3

$- 1 (4) - (- 3 K x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5.4

$2 K$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5.5

$- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.5.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

चरण 3.1.3.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

चरण 3.1.3.7

$\frac{1}{4}$ को $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ से गुणा करें.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

चरण 3.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

चरण 3.3

$\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ को ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$4 - 3 K x - 2 K$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

चरण 3.3.1.2

$4 (3 x + 2)$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

चरण 3.3.1.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

चरण 3.3.1.4

$- 1$ और ${(\frac{1}{2})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

चरण 3.3.1.5

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

चरण 3.3.1.6

कोष्ठक लगाएं.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

चरण 3.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

चरण 3.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

चरण 3.3.4

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$