कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y d y$ घटाएं.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} - y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

चरण 2.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

चरण 2.4

$0$ में से $2 y$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

चरण 3.2

चूंकि $- 2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x y$ का व्युत्पन्न $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

चरण 3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 2 y$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 y = - 2 y$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 2 y = - 2 y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - 2 x y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 2 x$ बटे $y$ अचर है, $- 2 x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

चरण 6.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 6.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 6.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.2

$x$ और $\frac{- 2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.3

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.4

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

चरण 6.3.2.4.2.4

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

चरण 7

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.3

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूंकि $- y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y^{2}$ का व्युत्पन्न $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.3.2

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

चरण 9.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

चरण 10

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

चरण 10.1.2

$x^{2} - y^{2} + y^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$- y^{2}$ और $y^{2}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

चरण 10.1.2.2

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

चरण 11

$g (x)$ को खोजने के लिए $x^{2}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x^{2} d x$

चरण 11.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 12

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 13

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$