कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ है.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$x^{- 2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.5

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.6

$x$ के संबंध में $x^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

चरण 2.3.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

चरण 2.3.8

सरल करें.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

चरण 2.3.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

चरण 4.2

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

चरण 4.2.1.2

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

चरण 4.2.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

चरण 4.2.1.4

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

चरण 4.2.1.5

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

चरण 4.2.1.6

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

चरण 4.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 1 - 3$ और $0$ जोड़ें.

$- 1 - 3 + C = 0$

चरण 4.2.2.2

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$- 4 + C = 0$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$C = 4$

चरण 5

$4$ को $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $8 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

चरण 5.2.2

${| x |}^{8}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$