कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 2 x^{2} - 1$ .फिर $d u = 4 x d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 2 x^{2} - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$2 x^{2} - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x + 0$

चरण 2.3.2.1.4.2

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$4 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

चरण 2.3.3.2

$4$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.5.1.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2.3.5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.5.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.5.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x^{2} - 1$ से बदलें.

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $5$ और $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ में $y$ के लिए $4$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ के रूप में फिर से लिखें.

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

चरण 4.2.1.2

$2$ को $25$ से गुणा करें.

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

चरण 4.2.2

$50$ में से $1$ घटाएं.

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

चरण 4.2.3

$49$ को $7^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

चरण 4.2.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

चरण 4.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

चरण 4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7^{1} + K = 4$

चरण 4.2.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$7 + K = 4$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $7$ घटाएं.

$K = 4 - 7$

चरण 4.3.2

$4$ में से $7$ घटाएं.

$K = - 3$

चरण 5

$- 3$ को $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 3$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$