कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 2.3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 2.3.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 2.3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 2.3.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4

$(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.4.7

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2.3.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

चरण 2.3.8

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

चरण 3

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

चरण 4.2

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

चरण 4.2.1.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

चरण 4.2.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

चरण 4.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

चरण 4.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

चरण 4.2.3

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

चरण 4.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

चरण 4.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

चरण 4.2.5.2

$2$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{8}{3} + K = 0$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{8}{3}$ घटाएं.

$K = - \frac{8}{3}$

चरण 5

$- \frac{8}{3}$ को $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{8}{3}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

चरण 5.2

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$