कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{1} = 4 x$ .फिर $d u_{1} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{1} = 4 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 2.3.1.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 2.3.1.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 2.3.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ और $e^{u_{1}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

चरण 2.3.2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{4}$ और $\cos (e^{u_{1}})$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

चरण 2.3.4

मान लीजिए $u_{2} = e^{u_{1}}$ .फिर $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

मान लें $u_{2} = e^{u_{1}}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$e^{u_{1}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

चरण 2.3.4.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}}$

चरण 2.3.4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.5

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.7

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{u_{1}}$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

चरण 4.2.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

चरण 4.2.1.3

$\sin (1)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

चरण 4.2.1.4

$\frac{1}{4}$ और $0.0174524$ को मिलाएं.

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

चरण 4.2.1.5

$0.0174524$ को $4$ से विभाजित करें.

$0.0043631 + K = 0$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $0.0043631$ घटाएं.

$K = - 0.0043631$

चरण 5

$- 0.0043631$ को $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 0.0043631$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

चरण 5.2

$\frac{1}{4}$ और $\sin (e^{4 x})$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$