कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

चरण 1

$\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

चरण 1.2

$\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ का $\frac{y}{x}$ से गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ में से $\frac{y}{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

चरण 1.2.2

$\frac{y}{x}$ और $\ln (\frac{y}{x})$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

चरण 2

मान लें $V = \frac{y}{x}$ . $\frac{y}{x}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

चरण 3

$y$ के लिए $V = \frac{y}{x}$ हल करें.

$y = V x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y = V x$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

चरण 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ को $\frac{d y}{d x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

गुणनखंडों को $\ln (V) V$ में पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

चरण 6.1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

चरण 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

चरण 6.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

चरण 6.1.2.2

$V \ln (V) - V$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

$V \ln (V)$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

चरण 6.1.2.2.2

$- V$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

चरण 6.1.2.2.3

$V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

चरण 6.1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

चरण 6.1.4

$V (\ln (V) - 1)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

चरण 6.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 6.1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = \ln (V)$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , तो $V d u_{1} = d V$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

मान लें $u_{1} = \ln (V)$ . $\frac{d u_{1}}{d V}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1

$\ln (V)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

चरण 6.2.2.1.1.2

$V$ के संबंध में $\ln (V)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{V}$ है.

$\frac{1}{V}$

चरण 6.2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2

मान लीजिए $u_{2} = u_{1} - 1$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

मान लें $u_{2} = u_{1} - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

$u_{1} - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

चरण 6.2.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $u_{1} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

चरण 6.2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

चरण 6.2.2.2.1.4

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.2.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2.2.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.4.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $u_{1} - 1$ से बदलें.

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (V)$ से बदलें.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

चरण 6.3

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

चरण 6.3.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

चरण 6.3.3

$V$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

चरण 6.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

चरण 6.3.5

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

समीकरण को $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

चरण 6.3.5.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

चरण 6.3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

चरण 6.3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

चरण 6.3.5.4

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | x |$ में पुन: क्रमित करें.

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

चरण 6.3.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

चरण 6.3.5.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

चरण 6.3.5.4.4

$V$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

चरण 6.3.5.4.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

चरण 6.3.5.4.6

$V$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.4.6.1

समीकरण को $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

चरण 6.3.5.4.6.2

गुणनखंडों को $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

चरण 6.4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

चरण 6.4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$V = e^{C | x | + 1}$

चरण 7

$\frac{y}{x}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

चरण 8

$y$ के लिए $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

चरण 8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = e^{C | x | + 1} x$

चरण 8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

गुणनखंडों को $e^{C | x | + 1} x$ में पुन: क्रमित करें.

$y = x e^{C | x | + 1}$