कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

चरण 1

मान लीजिए $v = f - c$ . $f - c$ की सभी घटनाओं के लिए $v$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d f}{d t} = y v$

चरण 2

$f - c$ को अलग करके $\frac{d v}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $f - c$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ है.

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d t} [f]$ को $f'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

चरण 2.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- c$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- c$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

चरण 2.4

$f'$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d v}{d t} = f'$

चरण 3

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d t} = y v$

चरण 4

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

चरण 4.2

$v$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$y v$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

चरण 4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

चरण 4.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

चरण 5

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

चरण 5.2

$v$ के संबंध में $\frac{1}{v}$ का इंटीग्रल $\ln (| v |)$ है.

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

चरण 5.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

चरण 5.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

चरण 5.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v |) = t y + C$

चरण 6

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

चरण 6.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| v |) = t y + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{t y + C} = | v |$

चरण 6.3

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण को $| v | = e^{t y + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| v | = e^{t y + C}$

चरण 6.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v = \pm e^{t y + C}$

चरण 7

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{t y + C}$ को $e^{t y} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

चरण 7.2

$e^{t y}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

चरण 7.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = C e^{t y}$

चरण 8

$v$ की सभी घटनाओं को $f - c$ से बदलें.

$f - c = C e^{t y}$

चरण 9

समीकरण के दोनों पक्षों में $c$ जोड़ें.

$f = C e^{t y} + c$