कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

चरण 1.2.2

$2$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

चरण 1.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$y e^{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

चरण 1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

चरण 1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

चरण 2.3.3

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{2 e^{x} + C}$ को $e^{2 e^{x}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{2 e^{x}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{2 e^{x}}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C e^{2 e^{x}}$ में $y$ के लिए $4$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$4 = C e^{2 e^{0}}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{2 e^{0}} = 4$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{2 e^{0}} = 4$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

चरण 6.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$C e^{2} = 4$

चरण 6.3

$C e^{2} = 4$ के प्रत्येक पद को $e^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$C e^{2} = 4$ के प्रत्येक पद को $e^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$e^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

चरण 6.3.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{4}{e^{2}}$

चरण 7

$\frac{4}{e^{2}}$ को $y = C e^{2 e^{x}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{4}{e^{2}}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

चरण 7.2

$\frac{4}{e^{2}}$ और $e^{2 e^{x}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

चरण 7.3

$e^{2 e^{x}}$ और $e^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$4 e^{2 e^{x}}$ में से $e^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

चरण 7.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

चरण 7.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

चरण 7.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

चरण 7.3.2.4

$4 e^{2 e^{x} - 2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$