कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r x}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

चरण 2.4

$e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$r^{2} e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

चरण 2.4.2

$4 e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

चरण 2.4.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

चरण 2.5

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r x}$ से विभाजित करें.

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\cos (2 x)$ को $1 - 2 \sin^{2} (x)$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$1$ में से $4$ घटाएं.

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

चरण 3.4

$r$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

चरण 3.4.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

चरण 3.4.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.