कैलकुलस उदाहरण

$3 x^{2} y d x + (y + x^{3}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 x^{2} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$

चरण 1.2

चूंकि $3 x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

चरण 1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y + x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x^{3}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 x^{2}$

चरण 2.5

$0$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 x^{2}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 x^{2}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 3 x^{2} y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $3 y$ बटे $x$ अचर है, $3 y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 5.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ को $3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = 3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y \frac{3}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2.2

$y$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y \cdot 3}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2.3

$3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2.4

$3$ को $y$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

चरण 5.3.2.5.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = y x^{3} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x^{3} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x^{3}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + g (y)] = y + x^{3}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x^{3} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x^{3}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x^{3}$ का व्युत्पन्न $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

चरण 8.3.2

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

चरण 8.3.3

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = y + x^{3}$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = y + x^{3}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + x^{3} - x^{3}$

चरण 9.1.2

$y + x^{3} - x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x^{3}$ में से $x^{3}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

चरण 9.1.2.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y d y$

चरण 10.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = y x^{3} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} + C$