कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y + y^{3} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

चरण 1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $\cos (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

चरण 1.4.3

$3$ को $\cos (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 y^{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y^{2} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ प्रतिस्थापित करें.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

चरण 5.3

चूँकि $3 \sin (x)$ बटे $y$ अचर है, $3 \sin (x)$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

चरण 5.6.2

$\frac{3}{3}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

चरण 5.6.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

चरण 5.6.3.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.3.2

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.3.3

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.4

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\sin (x) y^{3}$ का व्युत्पन्न $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.4.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{3} \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

चरण 9.1.3

$2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

चरण 9.1.3.2

$y^{3} \cos (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

चरण 9.1.3.3

$y^{3} \cos (x)$ में से $y^{3} \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 11

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$