कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} - 16) \frac{d y}{d x} + x y = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} + x y = 0$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y$ घटाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

चरण 1.1.3

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

चरण 1.1.3.2

$- 16 \frac{d y}{d x}$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16 = - x y$

चरण 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16$ में से $\frac{d y}{d x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 16) = - x y$

चरण 1.1.4

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4^{2}) = - x y$

चरण 1.1.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 4) (x - 4)) = - x y$

चरण 1.1.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$

चरण 1.1.6

$\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ के प्रत्येक पद को $(x + 4) (x - 4)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ के प्रत्येक पद को $(x + 4) (x - 4)$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.1.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

$x + 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.1.6.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.1.6.2.2

$x - 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.1.6.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.1.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

चरण 1.4.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

चरण 1.4.2.2

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

चरण 1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

चरण 1.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = (x + 4) (x - 4)$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = (x + 4) (x - 4)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$(x + 4) (x - 4)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)]$

चरण 2.3.2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 4$ और $g (x) = x - 4$ है.

$(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3.4.2

$x + 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 2.3.2.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.2.1.3.6

$x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 2.3.2.1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x + 4 + (x - 4) (1 + 0)$

चरण 2.3.2.1.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$x + 4 + (x - 4) \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.3.8.2

$x - 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 4 + x - 4$

चरण 2.3.2.1.3.8.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x + 4 - 4$

चरण 2.3.2.1.3.8.4

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.8.4.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$2 x + 0$

चरण 2.3.2.1.3.8.4.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $(x + 4) (x - 4)$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\ln (| (x + 4) (x - 4) |)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} + C$

चरण 3.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} = C$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 4) + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

चरण 3.3.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

चरण 3.3.2

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

गुणनखंडों को $x \cdot - 4$ और $4 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

चरण 3.3.2.2

$- 4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

चरण 3.3.2.3

$x \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

चरण 3.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

चरण 3.3.3.2

$4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.4

$\ln (| y |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\ln (| y |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.6

$2$ को $\ln (| y |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.7

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.7.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.7.1.1.3

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2} = C$

चरण 3.7.1.2

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |) = C$

चरण 3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ को सरल करें.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 16 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.7.1.4

उत्पाद नियम को $y^{2} | x^{2} - 16 |$ पर लागू करें.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.7.1.5

घातांक को ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.7.1.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.7.1.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.7.1.6

सरल करें.

$\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 3.8

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

चरण 3.9

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$

चरण 3.10

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

समीकरण को $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

चरण 3.10.2

$y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.2.1

$y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.10.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.10.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$