कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d t}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- t + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- t}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से गुणा करें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $5$ बटे $t$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{- t}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

चरण 7.3

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

चरण 7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

चरण 7.4.2

$\int e^{- t} d t$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

चरण 7.5

मान लीजिए $u = - t$ .फिर $d u = - d t$ , तो $- d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

मान लें $u = - t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$- t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [- t]$

चरण 7.5.1.2

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \frac{d}{d t} [t]$

चरण 7.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 7.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 7.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 7.6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

चरण 7.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

चरण 7.8

$5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ को $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

चरण 7.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- t$ से बदलें.

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

चरण 8

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.2.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.2.3

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$- 5 t e^{- t}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.2

$- 5 e^{- t}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.3

$- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.4

$C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.5

$- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.6.1

$- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ को $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

चरण 8.3.3.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$