कैलकुलस उदाहरण

$x v d v - (1 + v^{2}) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $(1 + v^{2}) d x$ जोड़ें.

$x v d v = (1 + v^{2}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (1 + v^{2})}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x v$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x (v)) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + v^{2}} v d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{1 + v^{2}}$ और $v$ को मिलाएं.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.3

$1 + v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x (1 + v^{2})$ में से $1 + v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = 1 + v^{2}$ .फिर $d u = 2 v d v$ , तो $\frac{1}{2} d u = v d v$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = 1 + v^{2}$ . $\frac{d u}{d v}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$1 + v^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v} [1 + v^{2}]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $1 + v^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ है.

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

चरण 4.2.1.1.3

चूंकि $v$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

चरण 4.2.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 v$

चरण 4.2.1.1.5

$0$ और $2 v$ जोड़ें.

$2 v$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + v^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) = \ln (| x |) + C$

चरण 5

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 1 + v^{2} |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

चरण 5.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.1.2

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

चरण 5.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

चरण 5.5

$v$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

चरण 5.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = \frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}$

चरण 5.7

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

समीकरण को $\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

चरण 5.7.2

दोनों पक्षों को $x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

चरण 5.7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.1.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

चरण 5.7.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 1 + v^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

चरण 5.7.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.2.1

गुणनखंडों को $e^{2 C} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$| 1 + v^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

चरण 5.7.4

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.4.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

चरण 5.7.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

चरण 5.7.4.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

चरण 6.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$