कैलकुलस उदाहरण

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y d x$ घटाएं.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\sqrt{1 + x^{2}} y$ में से $\sqrt{1 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

चरण 3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

चरण 3.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

चरण 3.3.3

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

चरण 3.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

चरण 3.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

चरण 3.4

$\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

चरण 3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

चरण 3.6

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

चरण 3.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

चरण 3.7.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

चरण 3.7.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

चरण 3.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

चरण 3.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

चरण 3.7.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ को $1 + x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.6.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

चरण 3.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

चरण 3.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

चरण 3.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

चरण 3.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

चरण 3.7.6.5

सरल करें.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 4.3.2.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 4.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

चरण 4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

चरण 4.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.2.2

घातांक जोड़कर $u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.2.2.1

$u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.2.2.1.1

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.2.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.5.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3.5.3.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.5.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 4.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.3

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.7.2.3.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

चरण 5.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

चरण 5.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ को $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

चरण 6.2

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$