कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (t) d t}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (t) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d t}$

चरण 1.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- t + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- t}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से गुणा करें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

चरण 2.3

$e^{- t}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u = - t$ .फिर $d u = - d t$ , तो $- d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u = - t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$- t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [- t]$

चरण 6.1.1.2

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \frac{d}{d t} [t]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 6.1.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 6.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

चरण 6.2

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

चरण 6.3

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

चरण 6.4

सरल करें.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

चरण 6.5

$u$ की सभी घटनाओं को $- t$ से बदलें.

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

चरण 7

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- t}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$e^{- t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 7.3.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

चरण 8

$t$ के लिए $0$ और $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

चरण 9

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण को $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

चरण 9.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 + C = 1$

चरण 9.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$C = 1 + 1$

चरण 9.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$C = 2$

चरण 10

$2$ को $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$2$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$