कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 3 d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{3 x + C_{1}}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{3 x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{3 x}$ से गुणा करें.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

चरण 3.3

$e^{3 x}$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

चरण 3.4

गुणनखंडों को $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

चरण 7.2

$0$ और $C_{2}$ जोड़ें.

$e^{3 x} v = C_{2}$

चरण 8

$e^{3 x} v = C_{2}$ के प्रत्येक पद को $e^{3 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{3 x} v = C_{2}$ के प्रत्येक पद को $e^{3 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{3 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

चरण 8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

चरण 9

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

चरण 10

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

चरण 11

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

चरण 11.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

चरण 11.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूँकि $C_{2}$ बटे $x$ अचर है, $C_{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

चरण 11.3.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$e^{3 x}$ के घातांक को नकारें और भाजक से बाहर निकालें.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

चरण 11.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.2.1

घातांक को ${(e^{3 x})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

चरण 11.3.2.2.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

चरण 11.3.2.2.2

$e^{- 3 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

चरण 11.3.3

मान लीजिए $u = - 3 x$ .फिर $d u = - 3 d x$ , तो $- \frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.1

मान लें $u = - 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.1.1

$- 3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

चरण 11.3.3.1.2

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.3.3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 3 \cdot 1$

चरण 11.3.3.1.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3$

चरण 11.3.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

चरण 11.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

चरण 11.3.4.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 11.3.5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

चरण 11.3.6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

चरण 11.3.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

चरण 11.3.8

सरल करें.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

चरण 11.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

चरण 11.3.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

चरण 11.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$