कैलकुलस उदाहरण

$(x + y) d x + (x + \frac{3}{y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

चरण 1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x + \frac{3}{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{3}{y}]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \frac{3}{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{y}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{y}]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{3}{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3}{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

चरण 2.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 1$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$1 = 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x + y d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x + y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x d x + \int y d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int y d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + y x + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{3}{y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + y x + g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2} + y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.3.2

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $x$ जोड़ें.

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{3}{y}$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{3}{y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{3}{y} - x$

चरण 9.1.2

$x + \frac{3}{y} - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y} + 0$

चरण 9.1.2.2

$\frac{3}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y}$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{3}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{3}{y} d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{3}{y} d y$

चरण 10.3

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 3 \int \frac{1}{y} d y$

चरण 10.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = 3 (\ln (| y |) + C)$

चरण 10.5

सरल करें.

$g (y) = 3 \ln (| y |) + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y x + 3 \ln (| y |) + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + 3 \ln (| y |) + C$

चरण 12.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y x + \ln ({| y |}^{3}) + C$