कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ ,

$y (0) = 11$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को

$2 y - 1$ से गुणा करें.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

चरण 1.2

$2 y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2.2

चूँकि

$2$ बटे

$y$ अचर है,

$2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2.3

घात नियम के अनुसार,

$y$ के संबंध में

$y$ का समाकलन

$\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और

$y^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.2.5.2

सरल करें.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$x^{2}$ का समाकलन

$\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर

$K$ के रूप में समूहित करें.

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{3}$ और

$x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

चरण 3.2

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$\frac{x^{3}}{3}$ घटाएं.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

चरण 3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से

$5 x$ घटाएं.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

चरण 3.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों से

$K$ घटाएं.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

चरण 3.3

लघुत्तम सामान्य भाजक

$3$ से गुणा करें, और फिर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$- \frac{x^{3}}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2.3

$- 5$ को

$3$ से गुणा करें.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

चरण 3.3.2.4

$- 1$ को

$3$ से गुणा करें.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

चरण 3.3.3

$- 15 x$ ले जाएं.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

चरण 3.3.4

$- 3 y$ ले जाएं.

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

चरण 3.3.5

$3 y^{2}$ और

$- x^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

चरण 3.4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.5

द्विघात सूत्र में

$a = 3$ ,

$b = - 3$ और

$c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ मानों को प्रतिस्थापित करें और

$y$ के लिए हल करें.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$- 3$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.2

$- 4$ को

$3$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.4.1

$- 1$ को

$- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.4.2

$- 3$ को

$- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.4.3

$- 15$ को

$- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5

$9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1

$9$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.2

$12 x^{3}$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.3

$36 K$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.4

$180 x$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.5

$3 (3) + 3 (4 x^{3})$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.6

$3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.1.5.7

$3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

चरण 3.6.2

$2$ को

$3$ से गुणा करें.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

चरण 3.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

चरण 5

चूँकि

$y$ प्रारंभिक स्थिति

$(0, 11)$ में धनात्मक है,

$K$ ज्ञात करने के लिए केवल

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ पर विचार करें.

$x$ के लिए

$0$ और

$y$ के लिए

$11$ प्रतिस्थापित करें.

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को

$6$ से गुणा करें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से

$0$ प्राप्त होता है.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.1.2

$4$ को

$0$ से गुणा करें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.1.3

$60$ को

$0$ से गुणा करें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.1.4

$3 + 0 + K$ और

$0$ जोड़ें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.1.5

$3$ और

$0$ जोड़ें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.1.1.2.2

$3$ और

$K$ को पुन: क्रमित करें.

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

चरण 6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$11$ को

$6$ से गुणा करें.

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

चरण 6.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$\sqrt{3 (K + 3)}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$3$ घटाएं.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

चरण 6.4.1.2

$66$ में से

$3$ घटाएं.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

चरण 6.4.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

चरण 6.4.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$\sqrt{3 (K + 3)}$ को

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1.1

घातांक को

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2.1.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.2.1.3.1

$3$ को

$3$ से गुणा करें.

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

चरण 6.4.3.2.1.3.2

सरल करें.

$3 K + 9 = 63^{2}$

चरण 6.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.3.1

$63$ को

$2$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 K + 9 = 3969$

चरण 6.4.4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.1

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$9$ घटाएं.

$3 K = 3969 - 9$

चरण 6.4.4.1.2

$3969$ में से

$9$ घटाएं.

$3 K = 3960$

चरण 6.4.4.2

$3 K = 3960$ के प्रत्येक पद को

$3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.2.1

$3 K = 3960$ के प्रत्येक पद को

$3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

चरण 6.4.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

चरण 6.4.4.2.2.1.2

$K$ को

$1$ से विभाजित करें.

$K = \frac{3960}{3}$

चरण 6.4.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.2.3.1

$3960$ को

$3$ से विभाजित करें.

$K = 1320$

चरण 7

$1320$ को

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ में

$K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1320$ को

$K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

चरण 7.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$3$ और

$1320$ जोड़ें.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

चरण 7.2.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$