कैलकुलस उदाहरण

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 1.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.5

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{4}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{1}{5}$ और $x^{5}$ को मिलाएं.

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{5}}{5}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

चरण 5.3

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

चरण 5.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x^{5}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

चरण 5.4.2

$x^{5}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

चरण 5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

चरण 5.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

चरण 5.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

चरण 5.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

चरण 5.4.2.2.5

$x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

चरण 5.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ को $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

चरण 5.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$\frac{1}{5}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

चरण 5.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{5}$ और $x^{5}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

चरण 5.6.2.3

$\frac{1}{5}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

चरण 5.6.2.4

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

चरण 6

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{5}$ और $\frac{1}{25}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

चरण 6.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

चरण 6.2

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$x^{5}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1.1

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.1.2.5

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.2

$\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.2.1

$\ln (x)$ और $\frac{1}{5}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.2.2

$\frac{1}{5}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{5} \ln (x)$ को सरल करें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.4.1

$- \frac{x^{5}}{25}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.4.2

$- x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.3.2

गुणनखंडों को $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$