कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $x = e^{r t}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

चरण 2.4

कोष्ठक हटा दें.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

चरण 2.5

$e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$r^{2} e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

चरण 2.5.2

$4 r e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

चरण 2.5.3

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

चरण 2.5.4

$5 e^{r t}$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

चरण 2.5.5

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ में से $e^{r t}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

चरण 2.6

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r t}$ से विभाजित करें.

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

चरण 3.2

$5$ में से $10$ घटाएं.

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

चरण 3.3

AC विधि का उपयोग करके $r^{2} + 4 r - 5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 5$ है और जिसका योग $4$ है.

$- 1, 5$

चरण 3.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

चरण 3.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

चरण 3.5

$r - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$r - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$r - 1 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$r = 1$

चरण 3.6

$r + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$r + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$r + 5 = 0$

चरण 3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$r = - 5$

चरण 3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(r - 1) (r + 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$r = 1, - 5$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

चरण 6

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$