कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{r}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

चरण 1.2.2

$r$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$- \frac{1}{r}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

चरण 1.2.2.2

$r \tan (θ)$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

चरण 1.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

चरण 1.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

चरण 2.2

$r$ के संबंध में $\frac{1}{r}$ का इंटीग्रल $\ln (| r |)$ है.

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $θ$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

चरण 2.3.2

$θ$ के संबंध में $\tan (θ)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (θ) |)$ है.

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

चरण 2.3.3

सरल करें.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

चरण 3.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

चरण 3.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

चरण 3.4

$r$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

चरण 3.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

चरण 3.6

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

समीकरण को $| r \sec (θ) | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

चरण 3.6.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

चरण 3.6.3

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $\sec (θ)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $\sec (θ)$ से विभाजित करें.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

चरण 3.6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.2.1

$\sec (θ)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

चरण 3.6.3.2.1.2

$r$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

चरण 3.6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.3.1

अलग-अलग भिन्न

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

चरण 3.6.3.3.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

चरण 3.6.3.3.3

$\frac{1}{\cos (θ)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

चरण 3.6.3.3.4

$\cos (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

चरण 3.6.3.3.5

$\pm e^{C}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

चरण 3.6.3.3.6

गुणनखंडों को $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ में पुन: क्रमित करें.

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$r = \cos (θ) C$

चरण 5

$θ$ के लिए $π$ और $r = \cos (θ) C$ में $r$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \cos (π) C$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\cos (π) C = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (π) C = 2$

चरण 6.2

$\cos (π) C = 2$ के प्रत्येक पद को $\cos (π)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\cos (π) C = 2$ के प्रत्येक पद को $\cos (π)$ से विभाजित करें.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

चरण 6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\cos (π)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

चरण 6.2.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

अलग-अलग भिन्न

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

चरण 6.2.3.2

$\frac{1}{\cos (π)}$ को $\sec (π)$ में बदलें.

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

चरण 6.2.3.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = 2 \sec (π)$

चरण 6.2.3.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक कीजिए क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में खण्ड ऋणात्मक है.

$C = 2 (- \sec (0))$

चरण 6.2.3.5

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 6.2.3.6

$2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$C = 2 \cdot - 1$

चरण 6.2.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$C = - 2$

चरण 7

$- 2$ को $r = \cos (θ) C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 2$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

चरण 7.2

$- 2$ को $\cos (θ)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$r = - 2 \cos (θ)$