कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण को $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भिन्न $\frac{y + \ln (x)}{x}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{y}{x}$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1.2

$- \frac{y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 1.3

$y$ और $- \frac{1}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2

$- \frac{1}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{- 1}$

चरण 2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.3

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{y}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.3

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{1}{x}$ को $\frac{\ln (x)}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

चरण 3.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

चरण 3.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

चरण 3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

चरण 3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 7.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 7.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{- 2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\ln (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

चरण 7.3.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

चरण 7.3.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

चरण 7.3.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

चरण 7.3.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

चरण 7.3.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 7.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 7.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 7.5.1.2

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 7.5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 7.5.2.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 7.5.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

चरण 7.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

चरण 7.7

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ को $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{\ln (x)}{x}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

चरण 8.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

चरण 8.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $C$ घटाएं.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

चरण 8.1.4

$\frac{1}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

चरण 8.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{\ln (x)}{x}$ घटाएं.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 8.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{x}$ घटाएं.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

चरण 8.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $C$ जोड़ें.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

चरण 8.3

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

चरण 8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

चरण 8.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

चरण 8.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.2.1.1

$- \frac{\ln (x)}{x}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1.2.2.1

$- \frac{1}{x}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

चरण 8.4.2.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

चरण 8.4.2.1.3

$- 1$ ले जाएं.

$y = - \ln (x) + C x - 1$

चरण 8.4.2.1.4

$- \ln (x)$ और $C x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = C x - \ln (x) - 1$