कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$ , $y (0) = 3$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{4}{1 + x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 1 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 1 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$1 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 2.3.2.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.3

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.5

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x$ से बदलें.

$y + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

चरण 3

$x$ के लिए $0$ और $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ में $y$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = 4 \ln (| 1 + 0 |) + C$

चरण 4

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$

चरण 4.2

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \ln (| 1 |) + C = 3$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$4 \ln (1) + C = 3$

चरण 4.2.2.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$4 \cdot 0 + C = 3$

चरण 4.2.2.3

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + C = 3$

चरण 4.2.3

$0$ और $C$ जोड़ें.

$C = 3$

चरण 5

$3$ को $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + 3$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \ln (| 1 + x |)$ को सरल करें.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{4}) + 3$

चरण 5.2.2

${| 1 + x |}^{4}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$y = \ln ({(1 + x)}^{4}) + 3$