कैलकुलस उदाहरण

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\arctan (x) + x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\arctan (x)$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

चरण 1.4

$0$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

चरण 2.3.3

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

चरण 2.3.4

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

चरण 2.3.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

चरण 2.3.5.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

चरण 2.4

$0$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $x$ प्रतिस्थापित करें.

$x = x$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$x = x$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

चरण 5.4

$\frac{x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{y}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2} y}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.4

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.5

$2$ और $\frac{y}{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.6

$\frac{2 y}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.3.7.2

$y x$ को $1$ से विभाजित करें.

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $y x$ जोड़ें.

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

चरण 9.1.2

$\arctan (x) + x y - x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x y$ में से $x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

चरण 9.1.2.2

$\arctan (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $\arctan (x)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

चरण 10.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 10.4

$x$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 10.5

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 10.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 10.5.1.3

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 10.5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 10.5.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 10.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 10.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 10.6.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

चरण 10.6.3

$2$ को $u$ से गुणा करें.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 10.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 10.8

कोष्ठक हटा दें.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 10.9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 10.10

सरल करें.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 10.11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 12

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 12.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 12.1.3

$- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ और $\frac{1}{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

चरण 12.1.3.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 12.2

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.3

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 12.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 12.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

चरण 12.5.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

चरण 12.5.2

घातांक को ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 12.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 12.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

चरण 12.5.3

सरल करें.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 12.6

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$