कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r x}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

चरण 2.4

कोष्ठक हटा दें.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

चरण 2.5

$e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$r^{2} e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

चरण 2.5.2

$- 3 r e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

चरण 2.5.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

चरण 2.5.4

$2 e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

चरण 2.5.5

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

चरण 2.6

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r x}$ से विभाजित करें.

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x^{2}$ घटाएं.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

चरण 3.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 3$ और $c = 2 - 4 x^{2}$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $r$ के लिए हल करें.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.4

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.5

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 3.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.4

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.5

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 3.5.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 3.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.4

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.5

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.1.6

$9$ में से $8$ घटाएं.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 3.6.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 3.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

चरण 6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

चरण 6.2

$\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$