कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = y + x^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} - y = x^{2}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से गुणा करें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x^{2}$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$

चरण 3.3

गुणनखंडों को $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x^{2} e^{- x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x^{2} e^{- x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x^{2} e^{- x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- x} y = \int x^{2} e^{- x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

चरण 7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

चरण 7.3

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

चरण 7.4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

चरण 7.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 7.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 7.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 7.7.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 7.8

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 7.8.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 7.8.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 7.8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 7.9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 7.10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- x} y = x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

चरण 7.11

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ को $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

चरण 7.12

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

चरण 8

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{- x} y = - x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{- x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.1.2

$- x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x^{2} + \frac{2 (x (- e^{- x}) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

$x (- e^{- x}) - e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1.1

$x (- e^{- x})$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.2.1.2

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.2.1.3

$e^{- x} (x \cdot (- 1)) + e^{- x} \cdot - 1$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (x \cdot (- 1) - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.2.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - x^{2} + \frac{2 (e^{- x} (- 1 x - 1))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.2.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.3

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = - x^{2} + \frac{2 e^{- x} (- x - 1)}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.3.2

$2 (- x - 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - x^{2} + 2 (- x - 1) + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y = - x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 8.3.1.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - x^{2} - 2 x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$