कैलकुलस उदाहरण

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(x^{2} - y^{2}) d x$ घटाएं.

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (x^{2} - y^{2})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} - y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

चरण 2.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

चरण 2.6

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.7.2

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

चरण 3.2

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

चरण 3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = 2 y$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 y = 2 y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

चरण 6.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

चरण 6.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

चरण 6.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

चरण 6.5

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

चरण 6.6

सरल करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

चरण 7

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

चरण 9.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

चरण 9.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ है.

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ है.

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{3}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.4

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{2} x$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.5

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.7

$0$ में से $2 x y$ घटाएं.

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.3.8

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

चरण 9.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

चरण 9.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

चरण 10

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

चरण 10.1.2

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 0$

चरण 11

$g (y)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 0 d y$

चरण 11.3

$y$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (y) = 0 + C$

चरण 11.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (y) = C$

चरण 12

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

चरण 13

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

चरण 13.3

$- (- y^{2} x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

चरण 13.3.2

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$