कैलकुलस उदाहरण

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$y'' + 25 y = 0$

चरण 2

$y'$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चूंकि $A$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $A \sin (5 x)$ का व्युत्पन्न $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ है.

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.6

$5$ को $\cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.2.7

$5$ को $A$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चूंकि $B$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $B \cos (5 x)$ का व्युत्पन्न $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ है.

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

चरण 2.3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 2.3.3.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 2.3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 2.3.3.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 2.3.3.4

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 2.3.3.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

चरण 2.3.3.6

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

चरण 2.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

चरण 3

$y''$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्युत्पन्न सेट करें.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ है.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $5 A$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 A \cos (5 x)$ का व्युत्पन्न $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ है.

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.4

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.6

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.3.7

$- 5$ को $5$ से गुणा करें.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $- 5 B$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 B \sin (5 x)$ का व्युत्पन्न $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ है.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

चरण 3.4.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.4.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.4.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.4.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.4.4

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.4.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

चरण 3.4.6

$5$ को $\cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

चरण 3.4.7

$5$ को $- 5$ से गुणा करें.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

चरण 4

दिए गए डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

चरण 5.2

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 25 A \sin (5 x)$ और $25 A \sin (5 x)$ जोड़ें.

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

चरण 5.2.2

$- 25 B \cos (5 x)$ और $0$ जोड़ें.

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

चरण 5.2.3

$- 25 B \cos (5 x)$ और $25 B \cos (5 x)$ जोड़ें.

$0 = 0$

चरण 6

दिया गया हल दिए गए डिफरेन्शल इक्वेश़न को संतुष्ट करता है.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ $y'' + 25 y = 0$ का हल है